Arc length in polar curves (continued)

 In the last post, we set the formula for the arc length of a polar curve. Now let's do an example. 

Example

Solution

  When θ = 0, r = 2 + 2cos0 = 2 + 2 = 4.  As θ goes from 0 to 2ℼ, the cardioid is traced exactly once. Therefore 0 and  2ℼ represent the limits of integration. Using f(θ) = 2 + 2cos0 , ɑ = 0 and β = 2π , the formula for the arc length becomes:                                                                                                         

                                                                                                       

We have 1 + cosθ = 2cos²θ/2. Multiplying by 2: 2 + 2cosθ = 4cos²θ/2.                                         

                                                                                                                     

                                      

The absolute value is necessary because cosine is negative for some values of its domain. To resolve this issue, change the limit from 0 to ℼ and double the result. This strategy works because cosine is positive between 0 and ℼ/2 .                                                                                                               

 

Practice  

Find the arc length of r = 3sinθ                                                                                                                                           

                                                              :